Corso di Controllo Ottimo

(OSC2 [Ottimizzazione nei sistemi di controllo 2], 6 crediti)

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Comunicazioni:

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Docente: Sergio Galeani (E-mail)

Obiettivi del Corso: Fornire gli strumenti per l'individuazione di punti di lavoro ottimi e per la sintesi ottima di leggi di controllo (in avanti o in retroazione dallo stato).

Risultati di apprendimento previsti: al termine del corso, lo studente sarà in grado di:

Programma: il corso sarà strutturato in due parti. Nella prima parte sono forniti i metodi generali per il controllo ottimo (sia in condizioni statiche che dinamiche), in particolare

Nela seconda parte, sulla base degli interessi degli allievi, degli indirizzi di appartenenza e del tempo a disposizione i metodi generali forniti verranno applicati alla soluzione di specifiche classi di problemi di controllo. Possibili argomenti includono:

Orario delle lezioni:

Orario di ricevimento studenti:

Testi consigliati: si raccomanda di seguire le indicazioni fornite dal docente durante le lezioni. Le lezioni sono basate per lo più su:

un possibile riferimento sugli aspetti matematici è: ulteriori riferimenti utili sono:

Programma delle lezioni A.A.2016/2017:

  1. Lezione del 02/05/2017 (2 ore):
    Introduzione al corso.
    Risultati principali che vedremo: Principio del Minimo di Pontryagin (PMP) e teoria di Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB).
    Relazioni fra ottimalità e stabilità.
    Controllo in avanti e in retroazione; sintesi.
    Ottimalità e discontinuità nel controllo; problemi con la definizione delle soluzioni nel caso di feedback discontinui.
    Riferimenti: appunti. Leggere i capitoli 1 e 2 del libro di Kirk.
  2. Lezione del 03/05/2017, mattina (2 ore):
    Cenni storici sul calcolo delle variazioni.
    Concetti di minimo locale, assoluto, stretto.
    Differenza fra condizioni necessarie (CN), condizioni sufficienti (CS) e condizioni di esistenza (CE).
    Rischi nell'uso di CN senza CE: il paradosso di Perron.
    Condizioni necessarie del primo ordine per minimi di funzioni scalari differenziabili.
    Concetti di funzionale, incremento, variazione. Estremali ed estremi.
    Il teorema fondamentale del calcolo delle variazioni.
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 4.1.
  3. Lezione del 03/05/2017, pomeriggio (2 ore):
    Il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni.
    Il più semplice problema del calcolo delle variazioni (t0, x0, tf e xf dati).
    Le equazioni di Eulero-Lagrange (solo enunciate).
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 4.2, fino a pag. 128.
  4. Lezione del 08/05/2017, (2+2/3 ore):
    Commenti sulle condizioni necessarie del primo ordine per il problema piè semplice del CV: Un semplice esempio di applicazione delle condizioni necessarie.
    Il secondo problema del calcolo delle variazioni (t0, x0 e tf e dati, xf libero).
    Derivazione delle equazioni di Eulero-Lagrange e della condizione al contorno mancante.
    Un semplice esempio di applicazione delle condizioni necessarie ricavate.
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 4.2, fino a pag. 133.
  5. Lezione del 09/05/2017, (2+2/3 ore):
    Il terzo e il quarto problema del calcolo delle variazioni.
    Le relazioni fondamentali.
    Osservazioni su equazioni di Eulero-Lagrange, condizioni al contorno e risolubilità.
    Il caso vettoriale.
    Diversi esempi di applicazione delle condizioni necessarie ricavate.
    Riferimenti: Kirk, fino a pag. 146.
  6. Lezione del 10/05/2017, (2+2/3 ore):
    Riepilogo delle condizioni necessarie trovate finora e metodo di applicazione.
    Ulteriori esempi con vari tipi di condizioni al contorno.
    Estremali con angoli: le condizioni di Weierstrass-Erdmann. Commenti.
    Riferimenti: Kirk, fino a pag. 157.
  7. Lezione del 15/05/2017, (2+2/3 ore):
    Riepilogo delle condizioni necessarie di Weierstrass-Erdmann e metodo di applicazione.
    Esempi di applicazione. Commenti.
    Riferimenti: Kirk, fino a pag. 161.
  8. Lezione del 16/05/2017, (2+2/3 ore):
    Ottimizzazione statica in presenza di vincoli di uguaglianza: i moltiplicatori di Lagrange. Una derivazione euristica.
    Ottimizzazione dinamica in presenza di vincoli di uguaglianza: puntuali, differenziali, isoperimetrici.
    Esempi di applicazione. Commenti.
    Riferimenti: Kirk, fino alla fine del capitolo 4.
  9. Lezione del 17/05/2017, (2+2/3 ore):
    Dal calcolo delle variazioni al controllo ottimo.
    Indici di costo di Mayer, Lagrange, Bolza.
    Uso dei moltiplicatori di Lagrange per introdurre la dinamica (vincolo differenziale) nel costo del calcolo delle variazioni.
    Derivazione della dinamica hamiltoniana.
    Un esempio, con derivazione delle condizioni al contorno (trasversalità) in alcuni casi speciali.
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 5.1 (da completare).
  10. Lezione del 22/05/2017, (2+2/3 ore):
    Derivazione delle condizioni al contorno (trasversalità) nei vari casi, in particolare con vincoli sull'evento finale.
    Il caso del controllo LQR (Linear Quadratic Regulator), con alcuni commenti.
    Cenni al fenomeno del turnpike.
    Riferimenti: Kirk, paragrafi 5.1 e 5.2 (leggere in autonomia quanto non visto in classe del paragrafo 5.2); appunti.
  11. Lezione del 23/05/2017, (2+2/3 ore):
    Derivazione del Principio del Minimo di Pontryagin (PMP). Commenti.
    Confronto fra PMP e corrispondenti condizioni del CV.
    Ulteriori proprietà dell'hamiltoniano nel caso stazionario.
    Un esempio con e senza vincoli di saturazione del controllo.
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 5.3.
  12. Lezione del 24/05/2017, (2+2/3 ore):
    Applicazione del Principio del Minimo di Pontryagin (PMP) al controllo ottimo in tempo minimo.
    Controllo bang-bang.
    Esempio: doppio integratore con saturazione del controllo.
    Esempio: oscillatore armonico con saturazione del controllo.
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 5.4.
  13. Lezione del 29/05/2017, (2+2/3 ore):
    Applicazione del Principio del Minimo di Pontryagin (PMP) al controllo ottimo a carburante minimo.
    Controllo bang-off-bang.
    Esempio: integratore con saturazione del controllo. Non unicità del controllo ottimo.
    Esempio: sistema scalare con un polo reale e negativo, con saturazione del controllo. Non esistenza del controllo ottimo.
    Esempio: come sopra, con vincolo sul tempo massimo impiegato. Sintesi del feedback. Non esistenza del controllo ottimo per condizioni iniziali grandi.
    Esempio: come sopra, con indice di costo misto tempo-carburante. Sintesi del feedback: uso della costanza dell'hamiltoniano.
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 5.5.
  14. Lezione del 30/05/2017, (2+2/3 ore):
    Gli intervalli singolari.
    Gli intervalli singolari nel caso di controllo in tempo minimo, con esempi.
    Gli intervalli singolari nel caso di controllo a carburante minimo, con esempi.
    Un esempio di sintesi in cui tutte le traiettorie ottime terminano su una traiettoria singolare.
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 5.6.
  15. Lezione del 31/05/2017, (2+2/3 ore): Annullata
  16. Lezione del 05/06/2017, (2+2/3 ore):
    Cenni alla programmazione dinamica.
    Derivazione euristica della Hamilton-Jacobi-Bellman Equation (HJBE) dalla programmazione dinamica.
    Esempi di soluzione della HJBE: uso per verifica di ottimalità di una soluzione.
    Esempi di soluzione della HJBE: soluzione mediante espansione in serie di potenze, con collage su varie regioni.
    Esempi di soluzione della HJBE: soluzione non differenziabile per problemi con dati analitici.
    Un lemma per lo scambio fra operatori di derivata e di minimo.
    Riferimenti: questa dispensa e queste pagine dal testo di Bertsekas.
  17. Lezione del 06/06/2017, (2+2/3 ore):
    Prova del lemma.
    Relazione fra PMP e HJBE, in un caso particolare.
    Metodi numerici per la soluzione di ODE con condizioni al contorno su due punti (Two Point Boundary Value Problems, TPBVP).
    Riferimenti: queste pagine dal testo di Bertsekas; Kirk, capitolo 6.
  18. Lezione del 07/06/2017, (2+2/3 ore): Annullata
  19. Lezione del 12/06/2017, (2+2/3 ore):
    Metodi numerici per la soluzione di ODE con condizioni al contorno su due punti: Variation of extremals.
    Metodi numerici per la soluzione di ODE con condizioni al contorno su due punti: metodi diretti, trascrizione come problema di programmazione nonlineare.
    Un esempio di uso del software numerico BOCOP.
    Riferimenti: Kirk, capitolo 6; guida di BOCOP. L'esempio visto in classe.
    Esercizi: scaricare BOCOP ed usarlo per risolvere uno degli esempi che si possono trovare qui.
  20. Lezione del 13/06/2017, (2+2/3 ore): Annullata
  21. Lezione del 14/06/2017, (2+2/3 ore):
    Cenni alle condizioni sufficienti di minimo basate sulla convessità: i teoremi di Mangasarian e di Arrow.
    Cenni alle condizioni di esistenza del minimo.
    Riferimenti: questa dispensa, pagine 84-85, 103-107; questa dispensa, paragrafi 1, 2, 4.

    Materiale didattico

    Orario di ricevimento studenti:

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