Corso di

Ottimizzazione nei sistemi di controllo 2

[OSC2, 6CFU]

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Comunicazioni:

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Docente: Sergio Galeani (E-mail)

Obiettivi del Corso: Fornire gli strumenti per l'individuazione di punti di lavoro ottimi e per la sintesi ottima di leggi di controllo (in avanti o in retroazione dallo stato).

Risultati di apprendimento previsti: al termine del corso, lo studente sarà in grado di:

Programma: il corso sarà strutturato in due parti. Nella prima parte sono forniti i metodi generali per il controllo ottimo (sia in condizioni statiche che dinamiche), in particolare

Nela seconda parte, sulla base degli interessi degli allievi, degli indirizzi di appartenenza e del tempo a disposizione i metodi generali forniti verranno applicati alla soluzione di specifiche classi di problemi di controllo. Possibili argomenti includono:

Orario delle lezioni:

Orario di ricevimento studenti:

Testi consigliati: si raccomanda di seguire le indicazioni fornite dal docente durante le lezioni. Le lezioni sono basate per lo più su:

un possibile riferimento sugli aspetti matematici è: ulteriori riferimenti utili sono:

Programma delle lezioni A.A.2017/2018:

  1. Lezione del 09/03/2018:
    Introduzione al corso.
    Esempi di problemi di controllo ottimo.
    Relazioni fra ottimalità, stabilità, robustezza...
    Controllo in avanti e in retroazione.
    Ottimalità e discontinuità nel controllo.
    Riferimenti: appunti. Leggere i capitoli 1 e 2 del libro di Kirk.
  2. Lezione del 12/03/2018:
    Esempi di problemi di calcolo delle variazioni: la brachistocrona, il percorso più breve fra due punti.
    Equazione di Eulero-Lagrange; derivazioni di Eulero e di Lagrange.
    Variazioni e norme deboli e forti.
    Riferimenti: Paragrafo 1.1 e capitolo 2, fino a pag. 36, di Kot.
  3. Lezione del 19/03/2018:
    Equazione di Eulero-Lagrange; derivazione di Lagrange.
    Il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni.
    Problemi di derivabilità della soluzione dell'equazione di E-L. Derivazione di Du Bos-Reymond e relativo lemma.
    Riferimenti: capitolo 2 di Kot.
  4. Lezione del 23/03/2018:
    Casi speciali dell'equazione di E-L. Esempi.
    Esempi di problemi di calcolo delle variazioni: superficie di rivoluzione di area minima, la brachistocrona.
    Riferimenti: capitolo 3 di Kot.
  5. Lezione del 26/03/2018:
    Generalizzazioni del problema più semplice del calcolo delle variazioni e dell'equazione di E-L: più derivate della variabile dipendente, variabile dipendente vettoriale, il caso di due variabili indipendenti. L'equazione di Eulero-Poisson.
    Riferimenti: paragrafi 4.1, 4.3, 4.8 di Kot.
  6. Lezione del 06/04/2018:
    La variazione seconda, condizioni necessarie di minimo del secondo ordine. La condizione di Legendre (anche rafforzata). L'equazione di Jacobi (da completare).
    Riferimenti: paragrafi 6.1, 6.2 di Kot (da completare).
  7. Lezione del 09/04/2018:
    La variazione seconda, condizioni necessarie e sufficienti di minimo del secondo ordine. Relazioni fra le condizioni di Legendre e di Jacobi. La soluzione dell'equazione di Jacobi. I punti coniugati.
    Riferimenti: capitolo 6 di Kot, leggere anche il capitolo 7.
  8. Lezione del 16/04/2018:
    Problemi del calcolo delle variazioni con vincoli. Tipi di vincoli. Il caso dei vincoli isoperimetrici e olonomi. La soluzione dell'equazione di Jacobi, i punti coniugati l'inviluppo degli estremi.
    Riferimenti: capitoli 5 e 6 di Kot.
  9. Lezione del 20/04/2018:
    Problemi del calcolo delle variazioni con estremi variabili. Condizioni di trasversalità. Esempi.
    Riferimenti: paragrafi 4.2 e 4.3 di Kirk.
  10. Lezione del 23/04/2018:
    Problemi del calcolo delle variazioni con estremali differenziabili a tratti. Condizioni di Weierstrass-Erdmann. Esempi. Interpretazione geometrica: la funzione indicatrice (o caratteristica) ammette una sola tangente in due punti diversi.
    Riferimenti: paragrafi 4.4 di Kirk e 10.1 di Kot.
  11. Lezione del 26/04/2018:
    Problemi del calcolo delle variazioni con variazioni forti. Esempi motivanti. La funzione eccesso di Weierstrass e la relativa condizione necessaria di minimo forte. Esempi. Interpretazione geometrica: la funzione indicatrice (o caratteristica) è (localmente) convessa e globalmente minorata dalla tangente nel punto corrispondente alla soluzione ottima.
    Riferimenti: paragrafi 11.1 e 11.2 di Kot.
  12. Lezione del 03/05/2018:
    Condizioni sufficienti per il problema del calcolo delle variazioni con variazioni forti. Campi di estremali. L'integrale invariante di Hilbert. La funzione eccesso di Weierstrass rivisitata: condizioni sufficienti di Weierstrass per estremali deboli e forti. Condizioni sufficienti semplificate e interpretazione geometrica: la funzione indicatrice (o caratteristica) è globalmente convessa (e quindi globalmente minorata dalla tangente nel punto corrispondente alla soluzione ottima, per ogni possibile pendenza "alternativa").
    Riferimenti: paragrafi 12.1 - 12.4 di Kot.
  13. Lezione del 07/05/2018:
    La "strada del re": condizioni sufficienti di Caratheodory per il problema del calcolo delle variazioni con variazioni forti. L'equazioni di Hamilton-Jacobi (HJE). Esempio di applicazione. Esempio di minimo debole ma non forte: il solido di rivoluzione a minimo attrito (Newton).
    Riferimenti: paragrafi 12.5, 11.3 di Kot.
  14. Lezione del 14/05/2018:
    Dal calcolo delle variazioni al controllo ottimo.
    Riferimenti: paragrafo 5.1 di Kirk (da completare).
  15. Lezione del 17/05/2018:
    Dal calcolo delle variazioni al controllo ottimo.
    Riferimenti: paragrafo 5.1 di Kirk (completo).
  16. Lezione del 21/05/2018:
    Controllo ottimo LQR.
    Tracking LQR. Equazione differenziale di Riccati.
    Comportamento non causale: schema di controllo, calcolo.
    La proprietà di turnpike.
    Analisi di alcuni esperimenti simulativi.
    Riferimenti: paragrafo 5.2 di Kirk.
  17. Lezione del 24/05/2018:
    Il principio del minimo di Pontryagin.
    Interpretazioni.
    Riferimenti: paragrafo 5.3 di Kirk.
  18. Lezione del 28/05/2018:
    Applicazione del principio del minimo di Pontryagin: il problema a tempo minimo.
    Controllo bang-bang.
    Intervalli singolari ed esistenza del controllo ottimo.
    Tre teoremi di Pontryagin.
    Sintesi.
    Riferimenti: paragrafo 5.4 di Kirk (da completare).
  19. Lezione del 31/05/2018:
    Applicazione del principio del minimo di Pontryagin: il problema a tempo minimo.
    Sintesi per il doppio integratore e per l'oscillatore armonico.
    Considerazioni su curve di commutazione, traiettorie ottime, approssimazione del feedback ottimo.
    Applicazione del principio del minimo di Pontryagin: il problema a sforzo/carburante minimo.
    Esempio: singolarità legata a non unicità del c.o.
    Riferimenti: paragrafi 5.5 e 5.6 (da completare) di Kirk.
  20. Lezione del 04/06/2018 (mattina):
    Applicazione del principio del minimo di Pontryagin: il problema a carburante minimo, sintesi con tempo finale fisso e con compromesso tempo-minimo/carburante-minimo.
    Singolarità del c.o. per problemi a tempo minimo e sistemi LTI.
    Riferimenti: paragrafi 5.5 e 5.6 di Kirk.
  21. Lezione del 04/06/2018 (pomeriggio):
    Singolarità del c.o. per problemi a carburante minimo e sistemi LTI.
    Sintesi del c.o. in presenza di archi singolari.
    Metodi numerici per il calcolo del c.o.: il metodo del gradiente.
    Riferimenti: paragrafi 5.6 e 6.2 di Kirk.

Materiale didattico

Orario di ricevimento studenti:

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