Corso di Controllo Ottimo

(OSC2 [Ottimizzazione nei sistemi di controllo 2], 6 crediti)

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Comunicazioni:

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Docente: Sergio Galeani (E-mail)

Obiettivi del Corso: Fornire gli strumenti per l'individuazione di punti di lavoro ottimi e per la sintesi ottima di leggi di controllo (in avanti o in retroazione dallo stato).

Risultati di apprendimento previsti: al termine del corso, lo studente sarà in grado di:

Programma: il corso sarà strutturato in due parti. Nella prima parte sono forniti i metodi generali per il controllo ottimo (sia in condizioni statiche che dinamiche), in particolare

Nela seconda parte, sulla base degli interessi degli allievi, degli indirizzi di appartenenza e del tempo a disposizione i metodi generali forniti verranno applicati alla soluzione di specifiche classi di problemi di controllo. Possibili argomenti includono:

Testi consigliati: le lezioni sono basate per lo più su:

un possibile riferimento sugli aspetti matematici è: ulteriori riferimenti utili sono:

Programma delle lezioni A.A.2015/2016:

  1. Lezione del 29/02/2016 (2 ore):
    Introduzione al corso.
    Relazioni fra controllo ottimo e altri campi di ottimizzazione/controllo.
    Relazioni fra ottimalità e stabilità.
    Controllo in avanti e in retroazione; schema a due gradi di libertà; sintesi.
    Uso del controllo ottimo come benchmark.
    Riferimenti: appunti.
  2. Lezione del 01/03/2016 (2 ore):
    Introduzione al controllo predittivo (MPC).
    Elementi di un problema di controllo ottimo: dinamica, indice di costo (o prestazione), vincoli.
    Controllo ottimo come ottimizzazione a dimensione infinita; difficoltà associate.
    Semplificazioni successive dal controllo ottimo a MPC.
    Insiemi di stati e ingressi ammissibili.
    Assunzioni: continuità di costo e dinamica; chiusura e compattezza dei vincoli su stato e ingresso.
    Riferimenti: Rawlings, Mayne, paragrafi 2.1-2.2.
  3. Lezione del 02/03/2016 (2 ore):
    Esempi di problemi MPC; studio tramite ottimizzazione vincolata (condizioni KKT).
    Proposizione 2.4: continuità del costo, compattezza dei vincoli, esistenza dell'ottimo.
    Problemi di continuità della legge di controllo MPC e dell'insieme di sequenze ammissibili.
    Esempio di controllo MPC discontinuo.
    Riferimenti: Rawlings, Mayne, paragrafo 2.2.
  4. Lezione del 07/03/2016 (2 ore):
    Proposizione 2.7: continuità del costo e del controllo ottimo.
    La programmazione dinamica (DP): esempio su grafo, principio di ottimalità, embedding.
    DP come riformulazione di un problema di ottimizzazione dinamica in termini di una sequenza di ottimizzazioni greedy.
    Applicazione a MPC e confronto fra traiettorie (e proprietà) del controllo MPC.
    Riferimenti: Rawlings, Mayne, paragrafo 2.3, Appendice C.1.
  5. Lezione del 09/03/2016 (2 ore):
    Cenni introduttivi alla stabilità mediante MPC.
    Funzioni di Lyapunov in termini di funzioni di classe K e PD.
    Funzioni di Lyapunov di controllo. Invarianza ed invarianza controllata.
    La funzione valore a orizzonte finito come funzione di Lyapunov: stato non vincolato.
    La funzione valore a orizzonte finito come funzione di Lyapunov: stato vincolato.
    Proprietà di monotonia della funzione valore.
    Riferimenti: Rawlings, Mayne, paragrafi 2.4.1, 2.4.2, 2.4.3, 2.4.4 (da completare).
  6. Lezione del 14/03/2016 (2 ore):
    Funzioni di Lyapunov in termini di funzioni di classe K e PD.
    Principali risultati per lo studio stabilità asintotica ed esponenziale mediante funzioni di Lyapunov.
    Il caso con stato vincolato.
    Riferimenti: Rawlings, Mayne, Appendici B.1, B.2, B.3.
  7. Lezione del 21/03/2016 (2 ore):
    Monotonia della funzione valore (Lemma 2.15).
    Ulteriori assunzioni e proprietà della funzione valore.
    Validità delle assunzioni nel caso di sistemi a segnali campionati, lineari e non.
    Limitatezza della funzione valore (Lemma 2.18).
    Riferimenti: Rawlings, Mayne, paragrafi 2.4.4, 2.4.5 (fino a pag. 120).
  8. Lezione del 23/03/2016 (2 ore):
    Ancora sulla validità delle assunzioni nel caso di sistemi a segnali campionati, lineari e non.
    Stabilità asintotica con XN illimitato.
    Risultati riassuntivi di stabilità.
    Commenti su stabilizzabilità e rilevabilità.
    Casi speciali: sistemi lineari e stazionari senza vincoli.
    Riferimenti: Rawlings, Mayne, paragrafi 2.4.5-2.4.7, 2.5-2.5.1.1.
  9. Lezione del 04/04/2016 (2 ore):
    Cenni storici sul calcolo delle variazioni.
    Condizioni necessarie del primo ordine per minimi di funzioni scalari differenziabili.
    Concetti di funzionale, incremento, variazione. Estremali ed estremi.
    Il teorema fondamentale del calcolo delle variazioni.
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 4.1.
  10. Lezione del 06/04/2016 (2 ore):
    Il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni.
    Il più semplice problema del calcolo delle variazioni (tf e xf dati).
    Le equazioni di Eulero-Lagrange.
    Un esempio di applicazione.
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 4.2, fino a pag. 128.
  11. Lezione del 11/04/2016 (2 ore):
    Ulteriori preciazioni sul procedimento di soluzione di problemi del calcolo delle variazioni.
    Il secondo problema del calcolo delle variazioni (xf libero).
    Un esempio di applicazione: distanza punto-retta.
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 4.2, fino a pag. 132.
  12. Lezione del 13/04/2016 (2 ore):
    Il terzo problema del calcolo delle variazioni (tf libero).
    Il quarto problema del calcolo delle variazioni (tf e xf liberi).
    Esempi di applicazione.
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 4.2.
  13. Lezione del 18/04/2016 (2 ore):
    Il quarto problema del calcolo delle variazioni (tf e xf liberi) nel caso multidimensionale.
    Le relazioni di trasversalità e relativa interpretazione come relazione fra gradienti del costo e dei vincoli.
    Derivazione delle relazioni di trasversalità come analogo del lemma fondamentale per le variazioni al bordo.
    Esempi di applicazione.
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 4.3 (e appunti).
  14. Lezione del 20/04/2016 (2 ore):
    Le condizioni di Weierstrass-Erdmann: enunciato e dimostrazione.
    Le condizioni di Weierstrass-Erdmann: interpretazione in termini di quantità conservate e condizioni al contorno su più punti.
    Un esempio di applicazione; specializzazione al caso di uno o due punti angolosi.
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 4.4 (e appunti).
  15. Lezione del 27/04/2016 (2 ore): [con ritardo iniziale per traffico]
    Ulteriori esempi di uso delle condizioni di Weierstrass-Erdmann: esclusione di punti angolosi, vincoli sul punto angoloso.
    Introduzione dei moltiplicatori di Lagrange.
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 4.4 e inizio 4.5.
  16. Lezione del 02/05/2016 (2 ore):
    Uso dei moltiplicatori di Lagrange nel calcolo delle variazioni.
    Vincoli puntuali, differenziali, isoperimetrici.
    Esempi di applicazione.
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 4.5.
  17. Lezione del 04/05/2016 (2 ore):
    Dal calcolo delle variazioni al controllo ottimo.
    Indici di costo di Mayer, Lagrange, Bolza.
    Uso dei moltiplicatori di Lagrange per introdurre la dinamica (vincolo differenziale) nel costo del calcolo delle variazioni.
    Derivazione della dinamica hamiltoniana.
    Derivazione delle condizioni al contorno (trasversalità) nel caso di estremi liberi o vincolati.
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 5.1.
  18. Lezione del 09/05/2016 (2 ore):
    Esempio di applicazione ad un caso con condizioni al contorno (trasversalità) libere e/o vincolate.
    Applicazione al controllo LQR.
    Riferimenti: Kirk, paragrafi 5.1, 5.2.
  19. Lezione del 10/05/2016 (2 ore):
    Derivazione del principio del minimo.
    Variazioni a spillo e variazioni "piccole" del processo ottimo.
    Interpretazione del costato come gradiente della funzione valore (cenni).
    Interpretazione geometrica alla Pontryagin con cono di variazioni ammissibili e iperpiani di separazione (cenni).
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 5.3, fino a pag. 233.
  20. Lezione del 16/05/2016 (2 ore):
    Ulteriori condizioni del PMP: derivata totale e parziale (rispetto al tempo) dell'Hamiltoniano coincidono.
    Ulteriori condizioni del PMP: Hamiltoniano costante/nullo per problemi stazionari.
    Vincoli sullo stato: aggiunta come stato addizionale (con dinamica differenziabile), relativo moltiplicatore costante.
    Esempi di applicazione delle condizioni discusse.
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 5.3.
  21. Lezione del 17/05/2016 (2 ore):
    Controllo ottimo in tempo minimo: definizione.
    Controllo ottimo in tempo minimo: insiemi di raggiungibilità, target sets, inclusioni differenziali.
    Controllo ottimo in tempo minimo: applicazione del PMP nel caso affine nel controllo. Gli archi singolari.
    Controllo ottimo in tempo minimo: applicazione del PMP nel caso lineare stazionario. Controllo bang-bang. Tre teoremi di Pontryagin.
    Esempio: controllo in tempo minimo del doppio integratore. Assenza di archi singolari. Sintesi.
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 5.4.
  22. Lezione del 18/05/2016 (mattina, 2 ore):
    Esempio: controllo in tempo minimo del doppio integratore. Ulteriori dettagli su sintesi, robustezza, approssimazione.
    Esempio: controllo in tempo minimo dell'oscillatore armonico. Ulteriori dettagli su sintesi, robustezza, approssimazione.
    Esempio: controllo in tempo minimo di un sistema del secondo ordine con un autovalore nullo e uno reale negativo.
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 5.4.
    Esercizio: controllo a tempo minimo dell'oscillatore armonico con due ingressi (cfr libro Athans, Falb).
  23. Lezione del 18/05/2016 (pomeriggio, 2 ore):
    Controllo a carburante minimo. Caso affine: controllo bang-off-bang.
    Controllo a carburante minimo. Casi singolari; casi di non esistenza e/o non unicità della soluzione.
    Controllo a carburante minimo. Limiti sul tempo massimo, confronto con tempo minimo. Sintesi non stazionaria.
    Controllo a carburante minimo. Indice con peso anche sul tempo. Sintesi stazionaria.
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 5.5.
  24. Lezione del 23/05/2016 (2 ore):
    Studio di problemi con estremali singolari.
    Condizioni necessarie per estremali singolari: il caso del controllo a tempo minimo e a carburante minimo.
    Studio di estremali singolari per un sistema lineare con indice quadratico (nel solo stato) con controllo vincolato.
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 5.6.
  25. Lezione del 25/05/2016 (2 ore):
    Relazione fra PMP e HJBE: costato e sensibilità dell'ottimo.
    Esempio di problema con dati regolarissimi per il quale la HJBE non è differenziabile.
    Un lemma per l'inversione fra minimizzazione e derivazione.
    Riferimenti: Bertsekas, pagg 115-119.
  26. Lezione del 30/05/2016 (2 ore):
    Metodi numerici per la risoluzione dei Two-Point-Boundary-Value-Problems (TPBVP) incontrati nel calcolo delle variazioni e nel controllo ottimo.
    Il metodo del gradiente (Steepest descent): algoritmo, vantaggi e svantaggi.
    Il metodo della variazione degli estremali (Variation of extremals): algoritmo, vantaggi e svantaggi.
    Riferimenti: Kirk, paragrafi 6.1-6.3.
  27. Lezione del 01/06/2016 (2 ore):
    Metodi numerici per la risoluzione dei Two-Point-Boundary-Value-Problems (TPBVP) incontrati nel calcolo delle variazioni e nel controllo ottimo.
    Il metodo della quasi-linearizzazione (Quasilinearization): algoritmo, vantaggi e svantaggi.
    I metodi diretti: algoritmo, vantaggi e svantaggi.
    Riferimenti: Kirk, paragrafo 6.4, appunti.

    Materiale didattico

    Orario di ricevimento studenti:

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